У этой лексемы несколько значений — так называют ‘голову’, ‘деревянную головешку’, ‘главаря, уважаемого в особых кругах человека’, но во всех случаях «башка» — жаргонизм. В тех немногих словарях, где встречается это слово, оно пишется с буквой «а», но откуда же тогда взялись варианты — «в бОшку», «бОшки»?
«Башка» — заимствование из восточных языков
Cлово-предок baška звучало почти так же, а перевести его можно как «головорез». В этом и других близких словах в тюркском, монгольском, татарском можно обнаружить корень «баш», который сохранился в русском — так появилось «башка».
Синоним «головы» быстро переняли люди, общающиеся на жаргонном языке. Сначала так говорили между собой бродячие торговцы, затем — воры, уголовники.
Ошибка возникает, потому что гласная, вызывающая сомнения, находится в корне — так и хочется проверить ее словом «бОшки», где явно слышится «о». «БОшки» действительно однокоренное, но в этом случае происходит чередование гласных «о»и «а», поэтому проверять таким образом написание нельзя.
Поэтому правильно писать «башка» в любом значении.
Словарь русского арго. Елистратов В.С. — 2002 г.
